JJ's blog

群论（一）

时隔多年，重新回来学习群论。一方面是最近有些迷茫，一方面是感慨 LLM 在辅助学习上的强大。

商群、陪集

陪集的概念还好，但是其中的这个等价关系 a∼b  ⟺  a−1b∈Ha \sim b \iff a^{-1}b \in H，其实我以前并没有那么摸得着头脑（或者说当年根本没有认真去想的欲望了，残念）。其实最常见的等价关系当然就是同余，但是同余我们通常使用加法而不是乘法的记号，所以看上去没那么显然。因为群上没有整数那样的取余运算，所以所谓的同余，比如看这个子群 3Z3\mathbb{Z}，同余就是说 b−a∈3Zb - a \in 3\mathbb{Z}，而 b−a=−a+bb - a = -a + b 用乘法的符号表示就是 a−1ba^{-1}b。所以这里的 a−1ba^{-1}b 其实就是两者的差（商）。

关于让商集成为商群的正规子群要求：g−1hgg^{-1}hg 这个。为了让运算在商集上良定义，我们需要

a∼a′,b∼b′⟹ab∼a′b′a \sim a',\quad b \sim b' \quad\Longrightarrow\quad ab \sim a'b'

也就是

(ab)−1a′b′∈H(ab)^{-1}a'b' \in H

考虑到 b−1b′∈Hb^{-1}b' \in H，其实我们只需要考虑

(ab)−1a′b∈H(ab)^{-1}a'b \in H

换句话说，因为 b∼b′b \sim b'，a′b′∼a′ba'b' \sim a'b，所以我们可以减少一个变量：

a∼a′⟹ag∼a′g,∀g∈Ga \sim a' \quad\Longrightarrow\quad ag \sim a'g,\qquad \forall g \in G

同理，因为 a∼a′  ⟺  h∈H  ⟺  e∼ha \sim a' \iff h \in H \iff e \sim h（其中 h=a−1a′h = a^{-1}a'），或者说我们可以固定 a=ea = e，只看 e∼h⟹eg∼hge \sim h \Longrightarrow eg \sim hg：

(ag)−1a′g=g−1a−1a′g=g−1hg=(eg)−1hg∈H(ag)^{-1}a'g = g^{-1}a^{-1}a'g = g^{-1}hg = (eg)^{-1}hg \in H

综上重新整理一下，我们真正关心的只有，该子群中的任何元素，能否在和群中任何元素运算下保持等价：

e∼h⟹eg∼hg,∀g∈G, ∀h∈He \sim h \quad\Longrightarrow\quad eg \sim hg,\qquad \forall g \in G,\ \forall h \in H

这个时候 g−1hgg^{-1}hg 就更好理解了，它就是 hh 被 gg 变换之后的差：

(eg)−1hg=g−1hg(eg)^{-1}hg = g^{-1}hg

保持等价就是差仍然在子群中，或者就是同余中差应该是倍数。

从另一个变换的角度来理解 g−1hgg^{-1}hg：对于 GG 中任意变换 gg，先做 gg，再做 HH 中任意操作 hh，最后做 g−1g^{-1}，所得的整体操作仍属于 HH。gg 可以改变 HH 中的具体操作，但这种改变始终在 HH 内部进行，使 HH 作为一族操作保持不变。

也就是 HH 和 GG 中其他的变换保持了一种足够的隔离性，使其足够诱导出一个商群。

进一步地，我们再来看一下正规子群的几个等价条件：

H◃G  ⟺  gH=Hg(∀g∈G)  ⟺  (g1H)⋅(g2H)=(g1g2)H(∀g1,g2∈G)\begin{aligned} H \triangleleft G &\iff gH = Hg \qquad (\forall g \in G) \\ &\iff (g_1H) \cdot (g_2H) = (g_1g_2)H \qquad (\forall g_1, g_2 \in G) \end{aligned}

这里的几个条件给人一种类似于“交换律”的感觉，怎么理解呢？一方面可以认为 HH 是商群的单位元，或者说在商群代表的结构下，HH 是单位元，那单位元是具有交换律的。

另一个方面我觉得更恰当一点的是，对于 HH 的元素和任意的其他元素，两个不同顺序的作用，带来的差是一个在 HH 的意义下可以忽略的差。从而这个其他元素和 HH 描述的性质有足够的隔离性。

LLM 给我的一个比较不错的例子：GG 为平面上的刚性变换，HH 为平移变换。平移和其他刚性变换比如旋转的两个不同顺序的复合，先旋转再平移和先平移再旋转，只会相差一个平移。而刚性变换忽略平移是什么？就是 O(2)\mathrm{O}(2)，即固定原点的刚性变换，旋转加反射。而这个 O(2)\mathrm{O}(2) 相当于是忽略了原点的位移，即平移的作用。

其他还有一些例子是同余，这个的话是交换群上面，所以有些交换相关的就没有那么明显。另一个是置换群和交错群，这个的话商群是交换的。

这里又想到一个点，就是为什么商群会和交换性有联系？这个就是前面单位元的理解，这个子群是作为商的时候除去的部分，会变成商群的单位元，而单位元是可交换的，所以围绕这个子群就会有一些交换性的要求。

这里另外一个方向继续延续就是群的交换化，考虑交换子 [a,b][a, b]，前面提到的就是交换子 [a,b]∈H[a, b] \in H（a∈Ga \in G，b∈Hb \in H）。进一步地，如果整个群的交换子都在 HH 上可忽略，即 [G,G]⊆H[G, G] \subseteq H，得到的商群就是交换群了。而这个构造 G/[G,G]G/[G, G] 就是群的交换化。

同态、同构

理解了上面这些之后，群同态基本定理就非常清晰了，因为 ker⁡f\ker f 其实就是在 f ⁣:G1→G2f \colon G_1 \to G_2 的映射下，那些可以被忽略（i.e., f(x)=e2f(x) = e_2）的元素，所以 ker⁡f◃G1\ker f \triangleleft G_1。然后其他的各种就是沿着两个维度：一个是 ker⁡f\ker f 的维度，另一个是和 ker⁡f\ker f “正交”的维度去划分。去想象 xx 轴上每个坐标是一个代表元，yy 轴则是 N=ker⁡f◃G1N = \ker f \triangleleft G_1，然后每个坐标沿着 yy 轴展出它的陪集。